2006/08/26

(賽局理論)"賽局理論"其實就是一種科學講究理性行為在一個互相影響的狀況內. 一些比賽或是賽局可以應用,而一些不能. 因為要贏得一個比賽,必須要有實際上的能力(可能是速度,可能是金錢等等....),跟技術(這方面就可以運用賽局理論)還有重要的....運氣!

舉例來說,一百公尺的賽跑就是一種實際能力參與,跟運氣兩者的產品,賽局理論在這裡的效應幾乎可以說是沒有....因為當你在思考要怎麼根據對方反映來做反映的時候你會發現....對方的反應挺好預測的....就是一直往前衝.....那要怎麼贏過對方呢.....就是....也要一起往前衝.....速度快的贏.....這種比賽....差異性不大....

可是如果是馬拉松比賽呢? 這裡面就有很多相對應的策略了,這也是為什麼如果是企業贊助的馬拉松隊,通常有時候會有兔子這種專門亂跑的選手.....負責打亂新人的步驟....而這些兔子通常....跑一跑.....就體力用光.....自動退出,但是他很成功的替自己的隊友減少了一些潛在的競爭對手.

其實賽局理論的模型常常都可以在一些武俠片中看到.....最簡單的例子就是兩杯酒,其中有一杯是下藥的....不過小鴨覺得念過的中國歷史中,最符合賽局理論的其實是一個分家產的故事. 有一家人因為分家產,老大跟老二鬧的很不愉快,而鬧上官府.....知縣大人就決定....讓老大來分家產,讓老二先挑哪一份. 這就是一個經典運用賽局理論讓兩個人都得到他們理想中的家產. 在這個例子當中. 由於老大負責分家產,而老大已經知道老二可以先挑選家產,在這個前提下,老大相信老二會挑走老二認為比較大的那一份. 那要怎樣才可以把老大的損失降到最低呢? 那就是老大將兩份家產分的越平均越好. 而老二知道自己可以先挑,於是就先保障了自己的權益了,自然不會反對. 

而另一個例子就是英雄要救狗熊綁架的美女. 英雄提出要在兩杯酒裡面的其中一杯下毒. 要狗熊選擇喝哪一杯.....那狗熊要怎麼選呢? 假設狗熊習慣喝左邊的,那狗熊假設英雄知道這個習慣會把毒藥放在左邊,那為了狗熊自己的安全,狗熊就必須喝右邊,可是由於英雄知道狗熊知道英雄知道狗熊有喝左邊的習慣,同時英雄知道狗熊知道英雄知道這件事情,所以英雄就該反過來利用,而把毒藥放在右邊.....然後....這個循環就一直下去.....那狗熊該如何做決定呢? 狗熊就該隨機決定....不管是丟銅板或是如何,總之就是要讓英雄無法預測就是了.

故事的結果....狗熊死了....英雄並沒有浪費時間在邏輯推理上....英雄利用了一種對自己身體沒有影響的毒藥.....在兩杯酒裡面都下毒了.....這就是英雄利用狗熊不知道英雄對毒藥免疫而所用的策略. 簡單來說,就是利用資訊不對等.

實在是挺有趣的阿!

2006/08/28

(賽局理論)今天上經濟課的時候教授玩了一個遊戲跟一個實驗.....遊戲很簡單,叫做"二十一隻旗子"(21 Flags),規則是很簡單,假設桌上有二十一個物體,其中一個玩家可以一次拿走一個,兩個,或是三個物體. 拿完之後輪到另一個玩家拿. 拿到最後一個物體的那一方為勝! 這個遊戲的設計是給兩位玩家,或是兩組玩家玩的. 而這個遊戲有一個簡單的神奇數字那就是---四! 因為如果輪到對方的時候桌子上只剩下四個物體....那對方就算是玩到死棋了! 不管對方拿一個,兩個,或是三個....最後一個都會是你拿走....換句話說....如果再往前推一個步驟.....讓對方拿的時候只剩下八個....然後是十二個,十六個,二十個.....這樣幾乎可以利於不敗之地.....也就是說....這個遊戲在決定誰先拿走棋子的時候....勝負就已經決定了....先下決定的一方只要第一次只拿一個物體....接下來只要尊照著既定的步驟.....就可以穩穩的拿下勝利......

實驗則是上到一個網站來做,實驗分兩個部分,首先把被測者分兩組. 一組是宣示組,一組是接收組. 所以很明顯的....做這個實驗的時候需要偶數的實驗者才可以做這個實驗. 

在實驗的第一部份. 電腦會說明規則,第一階段的規則是總共有十塊錢,而宣示組可以決定要如何跟接收組分這十塊錢. 而接收組則有推翻這個決定的權利,只是.....這個權利的後遺症是....雙方都不能拿錢.....理論上.... 如果玩的雙方都是非常理性的狀況下.....只要宣示組願意給接收組超過一分錢的狀況下....接收組應該都不會把這筆交易推翻掉.....所以宣示組應該會讓自己在一次交易中所能拿到的錢越接近十塊錢,但是又些微少於十塊錢的交易.....

實驗的第二部分則是宣示組可以決定交易的這十塊錢的去向,而接收組則完全沒有任何反應能力....祇能等宣示組宣佈結果而已.....在這樣的條件下.....宣示組應該每一次都決定把十塊錢放進自己的口袋裡面......而接收組則只能看著電腦螢幕....一次次的看著自己半毛錢都分不到....

這個實驗的另外一個特色就是,是用電腦隨機從宣示組跟接收組中配對的.....而完全不能知道對方是誰的狀況下,交易完一個回合之後,就會切換到下一次的配對對象,繼續下一回合的交易.

根據電腦模擬的結果,按照這樣的設定條件,用電腦來模擬一個理性反應的人的行為的時候.....第一階段的實驗宣示組應該收到接近十塊錢,而第二階段則應該完全收到十塊錢.....

那今天小鴨參與的實驗呢? 第一階段....宣示組平均起來大概是收到六塊錢.....這代表接收組平均起來可以收到四塊錢左右....而第二部分,宣示組平均則是九塊錢...而且...第二階段的實驗在後面幾個回合的時候.....宣示組的平均收入從九塊錢降到了八塊,或者甚至到了七塊錢附近.....

這樣的實驗結果.....雖然小鴨的班級人於人數的關係,所以實驗的樣本很小,不過跟其他大學用上千人次來做實驗的結果相比.....有趣的是,結果卻極為相似.....第一階段....似乎是因為人性中的一種"公平"的天性? 或是目前社會所教育出來的結果? 讓小鴨覺得挺有趣的....而第二階段的實驗就更有趣了....讓小鴨覺得跟小鴨念過的歷史挺像的....套句俗話...."人之將死,其言也善"...大概就是這個道理. 人似乎都會有種過意不去的心理? 這一點而影響了一般人的判斷,根據"實驗經濟學"的這個實驗來看....人並不是完全為了自己的利益而活著的.....

比較麻煩的是.....當小鴨在做這個實驗的時候....完全是依照經濟學理論來做.....完全沒有運用一般的思考....雖然很符合經濟學....但是還符合"人"這個條件嗎? 還是說....鴨子有豁免權....可以不需要煩惱這個問題.....不過還好...有統計學可以解救小鴨....反正是平均麼...根據標準的鐘型分佈,兩端雖然比較少,但是也還是會有個體在那個位置的.....只代表小鴨跟大部分人的選擇比較不一樣....不代表不正常.....小鴨果然是一個普通而正常的鴨子阿!

其實....這兩個實驗不禁讓小鴨聯想到政治上的運作.....宣示組就代表著統治階層,接收組則代表一般的被統治階層.....當被統治階層可以否定統治階層的時候,很明顯的,被統治階層的生活會過的比較好.....如果沒有了這個否定機制....就只能看統治階層的良心了....如果很不幸的....讓小鴨這種完全遵照經濟學來做理性判斷的鴨子當上統治階層了話....被統治階層大概就只能乖乖的被搶劫了......這似乎也解釋了"權利帶來腐化,絕對的權利,帶來絕對的腐化"這句俗話.....

2006/08/30

(賽局理論)小鴨為什麼要留在美國念這堂"賽局理論"(Game Theory)呢? 其實有一部份的理由是因為一篇天下雜誌的報導的關係.....這篇報導是說台灣有名的經濟學家....台灣唯一可以將賽局理論做成教案並且開課的教授.....在兩千零五年的時候....只有一位教授,這位教授當時正在台灣大學開課,教授這堂課.....想想也挺正常的....台灣唯一的頂級人才在台灣的最高等級學府開課....而在兩千零六年的時候....台灣教這堂課的教授人數則是.....零.....因為唯一的這位教授被挖角到大陸那邊去上課了.....這下有趣了....

打開天窗說亮話吧.....依照小鴨這種智商六十分的人....想要考入台灣大學去念經濟系....這大概比反攻大陸還要難....而現在更慘....現在就算考了進去....也是人事全非了.....而現在在美國....小小的州立大學就可以上這堂課.....實在是挺讓人興奮的....這大概就是所謂的資源問題了....在美國...小鴨這種智商六十的學生都可以上到賽局理論....在台灣....如果是兩千零五年....只有頂尖的一小搓人有機會上到這堂課.....而到了兩千零六年.....不管你在頂尖....也沒用...因為沒人教這堂課....想想還挺讓人唏噓的....

2006/09/06

(賽局理論)今天又開始上"賽局理論"(Game Theory),其中還介紹了美國為什麼要在海外駐軍.....在西德的駐軍如何確保蘇聯不會進攻西德.....分析起來...還挺單純的....首先,美國決定要不要在西德駐軍,然後蘇聯決定要不要攻擊西德. 如果蘇聯決定完要不要進攻之後,美國也要決定要不要參與這場戰爭.....

在玩賽局理論的時候要注意幾點,首先就是,上面表格中的數字大小沒有絕對關係,只有相對關係. 只要數字的大小符合使用者的需求就可以了,數字本身是沒什麼意義的,重點是可以比出大小就好. 紅色數字代表蘇聯的得分,藍色數字代表美國的得分. 咖啡色代表決定性決定,也是最後的回合,假設蘇聯在第二回合決定不要攻擊,那這個遊戲在第二回合就結束了,個自清點得分. 這個遊戲的玩法是由倒推法去看該怎麼做決定的. 由於是以美國的立場,所以在計算的時候要以對美國有利為計算根本. 首先看到,如果蘇聯不攻擊,不要駐軍對美國是比較有利的,因為可以減少一些經費. 對蘇聯來說則是沒有差異. 以蘇聯來說,攻擊,但是美國駐軍,但是不幫忙防守蘇聯可以一方面有面子,一方面有裡子. 如果美國不駐軍,也不幫忙防守,對蘇聯還是很有利. 所以從這個角度來看,蘇聯是該攻擊的,因為只要攻擊而且美國不幫忙防守了話,蘇聯可以得到最大的利益. 以美國的利益來說,不駐軍,就一定不能幫忙防守....駐軍了話,就一定要幫忙防守. 由於依照蘇聯利益來說攻擊可以取得最大的利益,所以蘇聯不攻擊的分數就不能當作一回事,而美國要拿到最高分數的方式就是駐軍同時蘇聯不攻擊....不駐軍雖然可以拿到更高的分數....但是由於確認蘇聯在那個條件下會進攻....所以那個選項等於無用.

2006/09/11

(賽局理論)今天上課的時候教授玩了一個小遊戲,遊戲本身很簡單,就是參加的同學只能決定一到一百的數字, 把數字的總合作一個平均,而數字最接近平均的一半的人為贏家. 所以假設平均為五十,一半就是二十五,數字最接近二十五的同學為贏家! 第一次玩的結果,平均是25.16,一半則是15.58....第二次玩的時候平均是19.8,一半則是9.9. 第三次玩的時候平均是9.107,一半則是4.5535.

很明顯的,同學們在這些遊戲中對於規則越來的越明白之後,讓平均慢慢的降低了. 小鴨參加的是第一回合,猜的數字是十七....原理很簡單,假設...全部的學生都知道規則,所以就會得到平均是五十的一半二十五.....然後假設學生們都會認為平均是五十所以都會猜二十五....所以小鴨就要猜二十五的一半....可是由於小鴨不大確定到底有多少學生可以了解這個題目....所以小鴨就把數字加到十七,當成誤差值的補償.....結果....贏家是小鴨的一位女同學....直接猜十二....相信數學的平均值,也相信全部的同學平均起來應該可以算到兩步左右.....換句話說,在現實生活中,對於一般人來說通常只能想到兩步之後的策略,如果可以預先想到第三步左右就可以領先了. 而在這個遊戲的設定中,跟小鴨一起玩第一回合的女同學也至多只能領先同學們一步到兩步的距離....領先一步猜十二可以贏,領先兩步猜九也可以贏,如果領先三步.....猜四....那反而會輸給小鴨,因為跟第一回合的誤差差了八以上,而小鴨只差五左右....這或許可以解釋為什麼一些時代領先者由於領先時代太多而失敗.....

換句話說,如果想要在一般這個時代致勝了話,就得比一般人多想兩步到三步....而這個說法...相對的也抑制了長程計畫的可能性....換句話說,想太多,想太遠反而可能是會害死自己的....就算真的想的那麼遠,也得慢慢放出來,等其他人趕上....不然大概就只能當個異端了.....

2006/09/13

(賽局理論)今天上"賽局理論"(Game Theory)的時候,教授又玩了一次"選美比賽"(Beauty Contest)....規則一樣,一樣是零到一百中間任何數字,最接近平均值的一半的同學可以贏.....有趣的是....這次的平均值是七點五,一半是三點七五....這個遊戲的最終答案是零....問題是....這個前提是在大家都相信大家的狀況下才可能出現的....只要有任何一個不長眼的把數字填大於零....就不會出現....小鴨第一時間想填的數字是四....因為...上次的標準是四點五....人類的學習曲線應該在某些程度上以後就變的和緩起來.....後來...小鴨還是決定相信班上同學一次....寫了零丟了出去......結果....果然還是讓小鴨失望了阿.....不過也算是在預料之中啦....如果寫四應該就可以贏了.....唉....因為小鴨忘記了....有些同學上次沒來上課....而這位同學寫了三十五....把平均值一下拉高不少.....不然應該是二或是一點多附近....不過從這點也可以得到一個結論....人們總是覺得其他人比自己笨一點....小鴨相信那位同學一定認為是二十五左右,但是他認為應該有一些同學搞不懂這個遊戲,所以才加了十分的誤差分數上去.....

這是一個很簡單的同步進行的遊戲組態圖. 這個遊戲...同學玩的挺沒力的...因為這算是一個賽局理論最經典"囚犯困局"(Prisoners Dilemma)的舊瓶新酒....不過這也可以看出為什麼市場都習慣殺價面對競爭.....其實從某些角度來看,只要有競爭....競爭對手們都會陷入這個困局之中....

今天另外還玩了一個遊戲,遊戲非常簡單,就是讓全班的同學在紙上寫下零到十之中的任何一個數字,然後跟另外一位同學配對,如果數字剛好等於十,兩個人就可以拿到寫下數字的錢,如果數字大於或是小於十,兩個人都拿不到錢.....這個實驗做下來....全班的同學都很有默契....全部都寫五.....這大概也代表著一種集體共識吧.....

其實在同步遊戲中,雙方的選擇是可以列出得失之後,算算看雙方會不會後悔,來決定是否可以達到"那許平衡"(Nash Equilibrium). 以上面的定價遊戲來看,假設甲公司設定高價的時候,乙公司一定要選低價這個選項才不會後悔,因為十五分比十分高,所以這時候就可以把乙公司選擇高價這個選項刪除,然後接下來再看....在知道乙公司會選擇低價的狀況,甲公司一定也會選擇低價,因為五分比兩分來的高....所以最後的(5,5)就會是那許平衡. 這種刪除法在推論出結果的時候非常的方便,尤其在這種同步遊戲跟變數多的時候.

在這個複雜的版本中,先假設蚩尤會選左來看了話....黃帝就只會選北,因為這裡的報酬最高,所以(北左)比其他三個選擇好(5>4>3>2).那如果黃帝選北呢? 蚩尤會選右,因為(北右)對蚩尤最有利(7>6>5). 那當蚩尤選右的時候呢,黃帝會選南,因為(南右)對黃帝最有利(12>10>9>6). 當黃帝選南的時候呢,蚩尤會選中,因為(南中)對蚩尤最有利(4>3>2). 而當蚩尤選中的時候呢,黃帝會選南,因為這對黃帝最有利(5>4>3>2)...所以南中就是雙方大軍的逐鹿戰場了!

2006/09/18

(賽局理論)今天上的泡妞經濟學...阿....不是...是"賽局理論"(Game Theory)....今天說的是....如果...有一群女孩子從小鴨跟草履蟲的前面經過....裡面的組成是一位頂級美女跟其他中等美女.....那小鴨跟草履蟲要如何才能快樂的泡上這些女孩子呢?....當然...這個思考實驗是需要有前提的....前提就是....小鴨跟草履蟲如果願意了話.....都可以成功的追到想要的女孩子.....(草履蟲:....這個假設太難達到了吧....)...不過如果小鴨跟草履蟲同時追頂級美女了話,一定會因為互相扯後腿而雙雙失敗.....那這時候該怎麼辦呢?

從這裡可以看到....那許平衡會是當小鴨去追求頂級美女而草履蟲去追求中等美女的時候所發生的(草履蟲:....明明反過來也一樣....)....最差的結局就是兩個人都去追頂級美女....那只會雙雙失敗....而如果兩個人都去追中等美女,則都可以得到不錯的結果....但是如果是其中一方追到頂級美女...那自然是最好不過的結果....所以小鴨得先跟草履蟲商量好....誰去追頂級美女....

電影"美麗境界"(A Beautiful Mind)就有一段是描述這個場景的,還挺有趣的,有興趣的人可以去弄來看看....雖然...電影中的導演把那許平衡搞錯了....從(2,4)或是(4,2)....誤會成(3,3)才是那許平衡....這方面看的人心理要有準備.

今天還順便去找教授看了一下那許的報告.....出乎意料的短....不到一張紙的內容就寫完了....卻包含了所有的賽局理論....不禁讓小鴨響起了道德經這本書.....那篇報告中運用了一個有趣的數學理論....是講兩張一樣的紙重疊在一起...如果把其中一張不管怎麼去折它,然後把它放在本來的那張紙上面...其中一定有一點或是超過一點的座標位置會完全相對應......有機會小鴨在把這份報告找到原版翻譯出來好了....要看到這麼簡短的報告還真的是不多了.....

2006/09/20

(賽局理論)為什麼公共設施通常都是由公共來提供,而不是由私人來提供呢? 理由其實很簡單.....

假設有甲,乙,丙三人住在同一個社區,這時候鄉公所有一個社區公園計劃,但是沒有資金...於是就把腦筋打到甲乙丙三人頭上....甲乙丙三人的策略只有捐錢,或是不捐錢. 捐錢的人越多,花園越大. 花園有大中小三種尺寸. 而每一個人呢,都會選擇寧願有比較小的花園,也不想要花錢這種想法....

於是:

選擇一:大花園(5)

選擇二:中型花園,不捐錢.(6)

選擇三:中型花園,捐錢.(3)

選擇四:小型花園,不捐錢(4)

選擇五:小型花園,捐錢(1)

選擇六:沒有花園(2)

接下來就要看人們最怎麼選擇....

雖然甲,乙,丙是同時行動的,但是仍然可以推敲出一些端倪出來....以甲來說....假設丙捐錢了話....甲會選不捐錢....同時不管乙捐不捐錢....甲都會選擇不捐錢....那如果丙不捐錢呢?....甲還是會選擇不捐錢....同理...乙丙也會做同樣的考量....最後就是...案子胎死腹中....沒有花園....這也是大部分的公共建設必須由社會來提供的主要原因.....

2006/09/27

(賽局理論)"賽局理論"(Game Theory)....可以用來計算對手的反應,而從中找到最好的反應策略出來....如果一個小城市中的兩家餐館要決定菜單上菜的價格的時候該怎麼做呢?....如果擁有足夠的資訊,在這個連續的決策行為中,兩家餐館的售價會越來越接近而最後變成相等.....同樣的,假設選舉的投票行為只會因為選舉的廣告經費而決定了話...最後雙方也是會變成花一樣多的廣告經費....以餐館的例子來說,如果是一樣售價...能降低成本還推出一樣品質的菜的餐館最後會贏得競爭.

而已選舉的例子來說,等於是說花越多錢的人會贏麼! 不過如果結合小鴨學過的美國政治學了話,就該看地區的選民結構,如果選民結構政黨的比例過於懸殊....其實廣告是無所謂的....而地區性的小選舉,政黨比例通常都挺懸殊的.....如果是像全國選舉這種比例比較均衡的選舉,重點反而是中間選民,如何影響最多的中間選民跟鼓勵自己的選民去投票則是最重要的. 而廣告經費其實都是花在中間選民身上的時候,就得看中間選民的比重有多高. 不過到最後還是....錢多的贏....

看起來這兩個結論好像是廢話....不需要上這台課都可以知道....不過這才正常不是嗎? 如果經濟學推理出來跟實際的東西不一樣了話,那這個經濟學就有需要修改的地方,畢竟經濟學只是用來形容一種社會現象跟預測的一種工具而已阿! 如果跟現實脫節那就有修改的必要. 所以跟現實符合反而證明是正確的. 如果連已經知道的都不能證明了,又要怎麼去預測不知道的呢?

2006/10/02

(賽局理論)在1838的時候,法國數學家卡那特(Cournot Oligopoly)發表了一篇論文....剛好...可以拿來解釋解釋...寡頭競爭的的市場....很多經濟學似乎都是靠著數學家的努力而來的阿!

假設市場中的廠商都生產一樣的產品,像是稻米或是礦泉水這種,很難區分出差異的產品....或是可口可樂或是百事可樂也可以....

生產的成本是Ci(qi), Ci>0

價格則是P(Q),而市場的總量Q則是市場中所有廠商的總和. Q=q1+q2+q3+.....qn

最大獲利πi=P(Q)*qi-Ci(qi)

那如果把這個改成一個遊戲呢?

玩家:廠商

策略:決定正確的生產數量(qi>0)

回報:獲利πi

那如果是市場中只有兩家廠商呢?

廠商數:兩家, 成本: Cqi; C>0; πi=(P-C)qi

那如果要計算出要生產多少產品了話就可以做出一個價格的線性方程式

P(Q)=a-bQ 如果Q≦(a/b)  或是....價格為零....a是當生產為零的時候,價格是多少的最高價格.,也就是需求線跟垂直軸焦會的那一點.

以廠商甲來說

π=(a-bQ)*q1-cq1,獲利等於價格乘上生產數量減掉固定的生產成本

由於市場上只有兩家廠商,所以Q=q1+q2

π=(a-bq1-bq2)q1-Cq1=aq1-(b(q1)^2)-bq1q2-cq1

然後這時候用一下微積分...把斜率設為零....

(dπ/dq1)=a-2bq1-bq2-c=0.....然後剩下的就是簡單的方程式解碼....

2bq1=a-q2-c  q1=(a/2b)-(q2/2)-(c/2b)   q1=[(a-c)/2b]-[(q2)/2]  而這個方程式就是廠商甲最好的生產方程式.

然後把廠商甲的生產方程式修改一下....就可以變成廠商乙的最好生產方程式了....

q2=[(a-c)/2b]-[(q1)/2]

而用這兩個方程式相結合,自然可以求出市場上的總量.只要把廠商乙方程式帶入廠商甲的生產方程式中

q1=[(a-c)/2b]-1/2{[(a-c)/2b]-(q1/2)}  q1=[(a-c)/2b]-[(a-c)/4b]+(q1/4)

(3/4)*q1=[(a-c)/2b]-[(a-c)/4b]  (3/4)q1=[(a-c)/4b]  q1=[(a-c)/3b]

那價格呢?

Q=q1+q2,所以把兩者的生產方程式帶入

P=a-bQ=a-b{[(a-c)/3b]+[(a-c)/3b]}=a-[2*(a-c)/3]=(a+2c)/3

十九世紀就有這麼簡單的方法可以推算出生產總量,並且由生產總量推出市場價格....真是簡單明瞭阿! 改天在來介紹從價格的角度來看這個問題....還真像海德堡的測不准定律....一次只能測一個....看是要測價格或是測生產量.....

2006/10/09

(賽局理論)一般來說,都會使用方格表來做即時制遊戲的"資料庫"(Normal Form),而用"樹狀圖"(Tree Diagram)來做回合制的資料庫. 但這並不是通則,如果有需要,也可以用樹狀圖來做即時制的資料庫,只是要注意,在不同的玩家的回合時要加上虛線連結在點上,代表資訊不流通,代表接下來的玩家無法得之前一位玩家所做的動作. 由於無法得之前一位玩家所做的動作,後來玩家的決定是不會受到前一位玩家的決定而影響的. 道理跟"薛格丁的貓"其實有一些類似....

不過其實還是會有一些差異的,尤其是回合制的遊戲,如果要用方格資料庫來求取"那許平衡"(Nash Equilibrium)的時候容易取得比樹狀圖多的"那許平衡".....而樹狀圖沒有意外了話,通常只會有一個會是數值相等的平衡答案而已.....

假設中央銀行可以決定利率高低,而國會可以決定預算是要平衡預算或是超支預算.....

樹狀圖

以這個樹狀圖來說,是國會先決定,而後央行在行動,所以假設國會施行平衡預算,央行會選擇低利率(回報4>3),於是平衡預算--高利率這組的選項就被刪除掉了,剩下平衡預算--低利率這一組的答案.

而如果國會施行超支預算了話呢,央行就會選擇高利率(回到2>1),於是超支預算--低利率這組就被刪除了,而剩下超支預算--高利率這一組.

而國會在這兩組中則會選擇平衡預算--低利率這一組,而不是超支預算--高利率這一組,因為對國會來說,回報是(3>2)....

資料庫

在資料庫中,很明顯的,有平衡預算---低利率跟一律使用高利率這兩個"那許平衡"存在.

這是因為"那許平衡"的存在只要玩家不會後悔就可以存在了. 每一個子遊戲都有一個平衡,而如果用"倒帶法"(Roll Back Equilibrium)就只會得到一個平衡. 於是這種回合制的那許平衡也被叫做"子遊戲完美那許平衡"(Sub game Perfect Nash Equilibrium)

"賽局理論"是以每個人都是理性的來做假設....但是...有時候人們的行為會呈現某些程度的不理性....這種不理性的原因其實是因為在外界有一個更大範圍的遊戲包含著. 所以在子遊戲中看似不理性的行為,以長遠來說反而可能是理性的! 可以說是以犧牲短期利益來換取長遠的利益.

假設小鴨在決定要不要放棄在台灣的工作來美國念經濟學,而這時候已經有美國的羅伯教授願意收小鴨了....但是羅伯教授之前才做完有關儲蓄的研究,而小鴨可能會選擇儲蓄方面研讀,也可能會研究賽局理論.....偏偏這時候羅伯教授又跑去法國鄉下品嚐美酒,而聯繫不上.....如果羅伯教授準備的研究題目跟小鴨想要念的題目不一樣....那小鴨就只好拜在其他教授的門下研讀.....

樹狀圖

從這裡可以看出來,這個遊戲的前半部分算是回合制,可是當小鴨做出決定之後,其實這個遊戲就變成了即時制的了,因為小鴨跟羅伯教授都無法得知對方的選擇,而無法根據對方選擇來做出回應. 而在這個遊戲中,其實小鴨的策略是挺明顯的...由於小鴨放棄了回報4的工作,這代表小鴨必定預計來上課可以有各回報更好的工作,那必然就是7了,所以羅伯在隻到小鴨放棄台灣的工作是為了求得更好的回報這個理性思維下....小鴨一定會選擇賽局理論....而這也代表如果羅伯教授想要有小鴨的幫助,也最好選擇賽局理論.....因為小鴨不可能為了比較低的回報而跑去選擇儲蓄....而如果羅伯教授堅持選擇儲蓄了話,那就只好緣鰹一面了.....

而這種利用之前的的訊息來做判斷,也被稱為"快轉法"(Forward Induction)

2006/10/16

(賽局理論)....今天...發了期中考的考卷....居然可以通過...實在是可喜可賀阿....看來...每次都在考場才開始研究經濟學理論果然是一件危險的事情....在多幾次...大概會在考場考到一半心臟病發吧....還好這種東西是可以推論出來的...如果是需要背的..大概就死慘了....

"混合策略"(Mix Strategy). 即時遊戲用混合策略,一些遊戲如果試著用"策略推演"(Pure Strategy)了話,並沒有"那許平衡"的存在. 這時候如果讓玩家使用機率這個因素加入他們的策略推演了話....

機率的總和必須為一.

混合策略必須是在一個連續的範圍內,而範圍必定在零跟一之間. 跟單純的策略推演事等同重要的.

混合策略的回報是一個機率加成的平均值...

假設阿格西選擇邊線球,那張德培的回報就是:

50甲+90*(1-甲)=90-40甲=0  90=40甲   

設甲=3/4=0.75  90-40*(0.75)=60

混合策略是特殊用在連續進行的策略.

如果用混合策略來重新定義那許平衡:

一組的混合策略,每一個玩家都用最好的策略還回應其他玩家的混合策略.

同時每一個遊戲一定有一個那許平衡.

阿格西的最好的回應就是在知道甲之後才可以推導出乙

張德培的最好的回應就是在知道乙之後才可以推導出甲

阿格西: 已知甲是多少

邊線:50甲+10(1-甲)=40甲+10  下圖中是機率為零的時候,回報為十,機率唯一的時候回報為五十的一條直線

對角:20甲+80(1-甲)=80-60甲   下圖中是機率為零的時候,回報為八十,機率唯一的時候回報為二十的一條直線

兩條直線在機率為零點七的時候交會.

扣掉兩條線的起始點跟交會在零點七這三點之外,其他點在圖表上由機率所對應的回報都僅表現出直線,而不是正確的回報值.

從這裡可以推導出40甲+10=80-60甲 

甲=零點七,如果甲不等於零點七,那麼就沒有所謂的混合策略,因為其中一種的策略的回報會大於另外一種策略,於是就該採取該種策略.

在機率(甲)小於零點七的時候,對角的回報皆高於邊線. 也就是說當張德培有小於百分之七十的機會發邊線球的時候,阿格西攻擊對角的回報會比較好.

相對來說,如果張德培攻擊邊線的機會高於百分之七十的時候,阿格西最好攻擊邊線.

混合策略的回報則是三十八.

2006/10/25

(賽局理論)在足球玩十二碼球,要怎麼樣才可以成功呢?假設球員可以踢左中右三個方向,而守門員也知道這點,所以守門員會守這三個方向.

遇上這種三乘三的,在配上混合策略....事情就漸漸變的有趣起來了!

先算球員預期的回報吧!

左:45Q1+90Q2+90(1-Q1-Q2)=90-45Q1

中:85Q1+0+85(1-Q1-Q2)=85-85Q2

右:95Q1+95Q2+60(1-Q1-Q2)=35Q1+35Q2+60

左中:90-45Q1=85-85Q2  5+85Q2=45Q1  Q1=(1/9)+(17/9)Q2--第一方程式

左右:90-45Q1=35Q1+35Q2+60  30-35Q2=80Q1  Q1=(3/8)-(7/16)Q2--第二方程式

中右:85-85Q2=35Q1+35Q2+60  25-120Q2=35Q1  Q1=(5/7)-(24/7)Q2--第三方程式

選用第一,第二方程式來解Q1

(1/9)+(17/9)Q2=(3/8)-(7/16)Q2  (17/9)Q2+(7/16)Q2=(8/72)+(27/72)  (335/144)Q2=19/72

Q2=(19/72)*(144/335)=38/335約等於0.1134

Q1=(1/9)+(17/9)(38/335)=(335/3015)+(644/3014)=981/3015約等於0.3254

Q3=1-Q1-Q2約等於0.5612

守門員預期的回報

左:55P1+15P2+5(1-P1-P2)=50P1+10P2+5

中:10P1+100P2+5(1-P1-P2)=5P1+95P2+5

右:10P1+15P2+40(1-P1-P2)=-30P1-25P2+40

左中:50P1+10P2+5=5P1+95P2+5  45P1=85P2  P1=(17/9)P2--第一方程式

左右:50P1+10P2+5=-30P1-25P2+40  80P1=-35P2+35  P1=(7/16)-(7/16)P2--第二方程式

中右:5P1+95P2+5=-30P1-25P2+40  35P1=-120P2+35  P1=1-(24/7)P2--第三方程式

選用第一,第二方程式來解P1

(17/9)P2=(7/16)-(7/16)P2  (17/9)P2+(7/16)P2=7/16  [(272/144)+(63/144)]P2=7/16  (335/144)P2=7/16

P2=(7/16)(144/335)=63/335=0.188

P1=(17/9)(63/335)=119/335=0.355

P3=1-P1-P2=1-0.188-0.355=0.457

混合策略中的那許平衡則是(P1,P2,Q1,Q2)=(0.355,0.188,0.3254,0.1134)

這並不是唯一的一組平衡,只是其中或可能是唯一的平衡.

這麼多方程式...選項一多...要做出混合策略中的那許平衡...這應該還只是入門階段而已阿....

2006/10/30

(賽局理論)"策略性決定"(Strategic Moves),是一種很有趣的東西. 玩遊戲,就要遵守遊戲規則....策略性決定,則是當玩家決定....自己修改規則...

只要玩家修改了規則,這個遊戲就會變成兩個階段.

第一階段:玩家宣佈自己的決定,同時在第二階段的時候將會照著這個決定走....(有點像是預告全壘打的意思,或是...保證互相毀滅的冷戰.)

第二階段執行之前宣佈的行動.

策略性決定有三種,分別是"承諾"(Commitments),威脅(Threat),答應(Promises)

策略性決定要成功的先決條件是,其他玩家相信在第二步驟的時候,玩家會執行自己所宣佈的決定,好影響其他玩家的行為. 所以玩家必須要有信用.

這個策略性的行為一定要被其他玩家觀察到.同時不能反悔....

非狀況性策略性決定:

第一階段:甲玩家宣佈在第二階段我要吃大便

第二階段:不管其它玩家全聚德點什麼....甲玩家都跑去吃大便....

這種就屬於一種承諾..

狀況性策略性決定:

第一階段:甲玩家宣佈,如果其他玩家點小籠包,我就要吃大便. 如果其他玩家點烏龍茶,我就要喝尿.

這是一個"回應規則"(Response Rule),或是"回應方程式"(Reaction Function).

第二階段:甲玩家將會比較慢做決定,而他的決定將取決於其他玩家的決定.

2006/11/01

(賽局理論)今天上課就是看電影,電影則是"奇愛博士"(Dr. Strange Love: How I Learned to Stop Worrying and Love the Bomb)...."謝林點"(Schelling Point)的發表者,西元兩千零五年諾貝爾經濟學獎得主"謝林教授"(Dr. Thomas C. Schelling)則是這部電影所影射的對象. 謝林教授曾經做出"多生產核子武器"這個建議給美國政府....

上這堂課卻看電影...很明顯的...這部電影一定有很大的成分跟賽局理論有關係!

"R計劃"(Plan R)

為什麼要有R計劃? 符合賽局理論嗎?

R計劃是只當中央領導階層被摧毀的時候,低階層的部隊指揮官有權力發動手下的核子武力進行報復性反擊. 這可以確保不會因為斬首性攻擊,而讓己方完全失去反擊能力. 使對方認為即使發動斬首攻擊,也必須評估可能受到的反擊.

為什麼R計劃失敗了?

在電影中是因為可以被低階層軍官發動....而脫離了原本設計的意義....

電影中的低階軍官決定發動R計劃攻擊,好讓美國決定對蘇聯發動全面性的核子攻擊,他的計劃中有什麼疏失?

他忽略了...自己的頂頭上司---美國總統可能跟對方合作...一起來解決這個問題....

末日機器最重要的設計是什麼?

全自動啟動,無法取消反擊行動.

末日機器最重大的缺點是什麼? 如果沒有這個缺點,它的作用可以成功嗎?

美國人不知道蘇聯人做好了這個機器....如果美國人知道,那麼那為低階軍官就不會發動攻擊....就可以達到原始的設計功用了....

2006/11/06

(賽局理論)在"策略性決定"(Strategic Moves)的時候,很重要的一點就是...如何讓對方相信你在第二階段一定會做某些事情? 也就是如何讓自己更可信?

首先,可以減少自己選擇的自由度!

像是由一個自動或是第三者的機構來決定下一步的行動.

如此一來,由於自己不能後悔,相對來說,可信度就增加了.

舉例來說,如果把自己的後路摧毀了,不能往後退了....那自然要往前行.

假設甲軍隊要攻擊乙軍隊,在過河之後,就把後退的橋給燒了....這樣甲軍隊要留下來進攻的可信度自然非常的高! 當年楚霸王項羽的"背水一戰"也是用類似的道理.

2006/11/08

(賽局理論)如果...人會死...人是不是就願意作姦犯科? 如果人生只有三個十年....人都知道自己甚麼時候會死....那人們會不會根據經濟學理論....比較願意作姦犯科呢? 根據經濟學理論....是的....假設以每十年為一個回合,人們都知道在第三個回合的終點...自己就要掛了....既然如此....那在最後的十年就乾脆為所欲為吧! 而既然知道自己最後的十年會為所欲為.....乾脆...在最後二十年也亂來吧....而如果知道自己未來二十年會亂來....何不從頭開始....一開始的十年也來胡搞瞎搞吧!

"史特林理論"(Selten's Theorem): 在有限回合的重複遊戲中,每個玩家都會尋找自己的那許平衡...以自己的利益為出發點...而不是考量合作為第一優先考量....

那按照這個說法...如果...人不知道甚麼時候會死...也就是充滿了不確定性...人是不是會比較守法呢? 而歷史,千古留名這些觀念... 是不是也如謝林點一樣,讓人們考量到死後在歷史上的毀譽,所以多少會節制自己....

在一個可以重複的遊戲中,會有一個特殊的那許平衡.

假設遊戲是無限重複(就好像歷史在人們的感覺中是無限延長的人生一樣)

也就是說結局是無法被預知的...就如同人生一樣....人們通常不知道自己甚麼時候會死....

玩家這時候會使用"觸發策略"(Trigger Stredgy),也就是說玩家們會彼此合作,直到...有人破壞了協議...那就自動觸發報復行動.....來制裁不合作的玩家.

這就是所謂的"無情的觸發"(The Grim Trigger):甲將會跟乙合作,只要乙仍然願意繼續合作. 但是如果乙越軌脫離了合作協議,甲玩家也會越軌,永遠不遵守原來的協議.

這"無情的觸發"這個設定狀態,人們比較不會違反協議...因為只要一次背叛了協議....接下來協議就結束了....

另外一種則是所謂的"以眼還眼"(Tit for Tat):甲會跟乙合作,只要以仍然遵守協議. 但是如果乙違背協議,甲再下一個回合就會選擇違反協議. 換句話說,雙方的策略是重複對方上一回合的行為. 如果對方上一回合違反協議,那己方這個回合就違反協議,朝著對自己有利的行為行動. 如果對方上一個回合遵守協議,那己在再這一回合就遵守協議.

範例:小鴨住的地方只有兩間餐廳,分別是"真有味"跟"好難吃". 如果兩間餐廳決定合作哄抬物價,每間餐廳都可以賺到324. 如果兩間餐廳打算競爭,那麼就只能賺到288. 如果一方遵守協議,一方不遵守...遵守的那一方只能賺到216,違反的那一方在那一個回合則可以賺到360.

假設雙方都使用"觸發策略"...都會重覆對方上一個回合的決策.

假設其中一方決定違反協議一次....

在這個範例中,遵守協議的利益是36(360-324),不遵守協議下一個回合的損失是108(324-216)...那到底要不要違反協議呢?.....

其實...這個問題的答案是....:看狀況...

這個答案的原因是....經濟學家隊第二回合的前要考量利率如何...看外來的錢等於多少現在的錢來決定....如果第一回合多的36塊錢可以賺到比第二回合損失的108塊錢還多的狀況....那就該再第一回合背叛協議,如果不行...則最好乖乖遵守...

那算一下...

現值+利息=未來值

PV(1+r)=108  PV=36  r=2....換句話說...

收益率要超過百分之兩百才值得....

2006/11/13

(賽局理論)挺有趣的,之前教授上了這麼久的賽局理論,特別提到,為了讓自己的威脅成立,就要肯定自己會去執行才會有用....而今天教授就面臨了這樣的問題......因為發現了有同學抄功課....其實這也不是新聞了...畢竟小鴨之前當助教的時候就碰過這種問題....一堆人抄功課....還抄錯.....不過目前為止還不知道懲罰是甚麼....小鴨一開始就沒仔細研究如果有這條過失會發生甚麼事情的狀況....所以...目前還是完全狀況外....根據教授的說法..."根據賽局理論,我現在必須要建立起我的信用...."...有好戲看了...

上一次提到的是狀況是當兩家餐廳只背棄承諾一次....那如果背棄一次之後就不再遵守承諾呢?

從這裡可以看出,一次背棄承諾可以多賺36,而如果一直背棄下去...就只會損失36而已....那這樣的損失市可以接受的嗎? 投資報酬率又要有多少才划算呢?

第二個月的損失就是36/(1+r)  第三個月則是36/[(1+r)^2] 然後就一直維持下去......直到時間的盡頭....

設定δ=1/(1+r)

36δ+36(δ^2)+36(δ^3)+.........  36δ(1+δ+δ^2+....)

假設好難吃會背棄承諾. 那就要在36>36δ(1+δ+δ^2+....)的前提下才會成立. 設定S=(1+δ+δ^2+....)

δS=(δ+δ^2+